[Luogu2671][NOIP2015 普及组] 求和

一道找规律与推导的题目。

题目

展开题目

一条狭长的纸带被均匀划分出了 $n$ 个格子，格子编号从 $1$ 到 $n$ 。每个格子上都染了一种颜色 $color_i$ 用 $[1,m]$ 当中的一个整数表示），并且写了一个数字 $number_i$ 。

定义一种特殊的三元组： $(x,y,z)$ ，其中 $x,y,z$ 都代表纸带上格子的编号，这里的三元组要求满足以下两个条件：

$xyz$ 是整数, $x<y<z,y-x=z-y$
$colorx=colorz$

满足上述条件的三元组的分数规定为 $(x+z) \times (number_x+number_z)$ 。整个纸带的分数规定为所有满足条件的三元组的分数的和。这个分数可能会很大，你只要输出整个纸带的分数除以 $10,007$ 所得的余数即可。

输入格式

第一行是用一个空格隔开的两个正整数 $n$ 和 $m,n$ 表纸带上格子的个数， $m$ 表纸带上颜色的种类数。

第二行有 $n$ 用空格隔开的正整数，第 $i$ 数字 $number$ 表纸带上编号为 $i$ 格子上面写的数字。

第三行有 $n$ 用空格隔开的正整数，第 $i$ 数字 $color$ 表纸带上编号为 $i$ 格子染的颜色。

输出格式

一个整数，表示所求的纸带分数除以 $10007$ 所得的余数。

样例输入#1
6 25 5 3 2 2 22 2 1 1 2 1

样例输出#1
82

样例输入#2
15 45 10 8 2 2 2 9 9 7 7 5 6 4 2 42 2 3 3 4 3 3 2 4 4 4 4 1 1 1

样例输出#2
1388

【输入输出样例 1 说明】

纸带如题目描述中的图所示。

所有满足条件的三元组为： $(1, 3, 5), (4, 5, 6)$ 。

所以纸带的分数为 $(1 + 5) \times (5 + 2) + (4 + 6) \times (2 + 2) = 42 + 40 = 82$ 。

对于第 $1$ 组至第 $2$ 组数据， $1 \le n \le 100, 1 \le m \le 5$ ；

对于第 $3$ 组至第 $4$ 组数据， $1 \le n \le 3000, 1 \le m \le 100$ ；

对于第 $5$ 组至第 $6$ 组数据， $1 \le n \le 100000, 1 \le m \le 100000$ ，且不存在出现次数超过 $20$ 的颜色；

对于全部 $10$ 组数据， $1 \le n \le 100000, 1 \le m \le 100000, 1 \le color_i \le m,1\le number_i\le 100000$

解答

$x<y<z,y-x=z-y$ 表示的显然是距离相等，也就是 $y$ 是 $x,z$ 的平均数，而且 $y$ 是个整数，所以 $x,z$ 奇偶性相同，分别进行计算即可。

又因为颜色与答案无关，所以颜色也可以分别计算。现在的问题就转化为了求：

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=i+1}^{n}(A_i+A_j)(B_i+B_j)$

展开后会发现当中有 $n-1$ 个 $A_i B_i$ ，和所有 $A,B$ 相乘。利用多项式乘法的特性，可得原式等于：

$\sum\limits_{i=1}^{n}A_i \times \sum\limits_{i=1}^{n}B_i + \sum\limits_{i=1}^{n}(n-2)A_iB_i$

代码就很简单了：

查看代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>

#define pii pair<int, int>
#define X first
#define Y second

using namespace std;

const int MOD = 10007;

int n, m;
int number[100005], color[100005];
vector <pii> v[100005][2];

int main(void)
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", number + i), number[i] %= MOD;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", color + i);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        v[color[i]][i & 1].push_back(make_pair(i, number[i]));
    int ans = 0;
    for (int op = 0; op < 2; ++op)
    {
        for (int i = 1; i <= m; ++i)
        {
            int R = v[i][op].size();
            if (R >= 2)
            {
                int res = 0, ret = 0;
                for (int j = 0; j < R; ++j)
                    res = (res + v[i][op][j].X) % MOD, ret = (ret + v[i][op][j].Y) % MOD;
                ans = (ans + res * ret % MOD) % MOD;
                for (int j = 0; j < R; ++j)
                    ans = (ans + (R - 2) % MOD * v[i][op][j].X % MOD * v[i][op][j].Y % MOD) % MOD;
            }
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}