数学杂项

在数学和抽象代数中，群论（Group Theory）主要研究叫做“群”的代数结构。博弈论，是经济学的一个分支，主要研究具有竞争或对抗性质的对象。本文将介绍这两块内容。

放在一起的原因是在 OI 中它们都属于杂项。

群论

群是由一种集合 $G$ 以及一个二元运算所组成的，它的二元运算用 $a\cdot b$ 表示，要求满足群公理：

• 封闭性，$\forall a,b\in G, a\cdot b\in G$。
• 结合律，对于 $G$ 中的任意元素，其二元运算需要满足结合律。
• 单位元，$G$ 中存在一个元素 $e$，使得对于 $G$ 中的任意一个元素 $a$，都有一个 $e\cdot a=a\cdot e=a$ 成立。这个元素应该是唯一的，被称为群的单位元 $e$。
• 逆元，对于 $G$ 中的 $a$，总存在 $G$ 中的一个 $b$ 满足 $a\cdot b=b\cdot a=e$，称 $b$ 为 $a$ 的逆元，记为 $a^{-1}$。任何一个元素的逆元是唯一的。

这样，$(G,\cdot)$ 被称为一个群。例如，$(\mathbb{Z},+)$ 是一个群，$e=0$，一个数的逆元是它的相反数。

如果 $(G,\cdot)$ 满足封闭性和结合律，那么它就是一个半群；如果还满足单位元，那么它就是幺半群；如果群 $(G,\cdot)$ 满足交换律，即 $\forall a,b\in G, a\cdot b=b\cdot a$，那么这是一个阿贝尔群，又称交换群。

环

环是一个集合 $R$ 及对 $R$ 的两个二元运算，这里记作加法和乘法 $+,\cdot$（但是并不是四则运算中的加乘），这个环记作 $(R,+,\cdot)$，并满足如下代数性质：

1. $(R,+)$ 是交换群，其单位元记为 $0$，$R$ 中元素 $a$ 的加法逆元为 $-a$；
2. $(R,\cdot)$ 是半群；
3. 分配律，$\forall a,b,c\in R,a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$。

如果 $R$ 中的乘法满足交换律，那么 $R$ 是交换环；如果 $R$ 存在乘法单位元 $1$，那么它是幺环，在此基础上若所有非零元素 $a$ 存在乘法逆元 $a^{-1}$，那么 $R$ 为除环。

域

群的基本概念

置换群

博弈论

主要研究一个游戏中多位玩家的策略。

Problemset